点過程及びポアソン過程 - もじゃもじゃな人の雑記

昨日サボった分，長めの記事書きました．

思ったより筋肉痛になってなくて幸いですわ．明日以降にやって来るんだとしたらそれは知らない．

さて，タイトル通りポアソン過程とそれによって説明できる点過程の特徴について，今回は紹介したいと思います．

点過程とは（ざっくり）
ポアソン過程
性質から導出してみる
- 導出その1. 指数分布
- 導出その2. ポアソン分布
結び
参考文献

点過程とは（ざっくり）

時系列上において，イベントがランダムに発生していくシステムを点過程と呼び，そのイベントの発生規則は確率で記述される，らしい．参考に読んでいたのは[1]．

語尾が怪しいのはすでにこの項目が難しそうだってちゃんと読んでないからですゴメンナサイ．

この説明はめっちゃ一般化してて普通に難しいやつでは？と思ったので今回は深入りしないことにします．書きたかったのは次のところから．

ポアソン過程

ポアソン過程（ポアソン点過程）も点過程の一部である．定義は次の通り（参考：[2]）．なお単位時間あたりのイベントの発生確率を $\lambda$ とする．

希少性を持つ．すなわち，十分に短い時間にイベントが2回以上発生することはない．
$t$ 秒後までにイベントが発生する回数 $N(t)$ はポアソン分布 $Po(\lambda t)$ に従う．
イベントの発生間隔 $\tau$ が時間幅 $t$ 以下となる確率はパラメータ $\lambda$ の指数分布に従う．

そして，そのイベント発生確率は次の性質を持つ（参考：[2][3]）．

定常性：各事象が発生する確率は時間によらず一定である．
独立性：各事象は以前に発生した事象から影響を受けたりその次の事象に影響を与えたりしない（無記憶性）．

性質から導出してみる

では今回は先ほど述べたポアソン過程の性質（と定義1）から本当にポアソン分布と指数分布が導出できるかどうかをやってみる．参考は[4]とか．

導出その1. 指数分布

ここではイベントの間隔 $t$ が指数分布に従うことを確かめることが目的である．

まずは，時刻0から $t$ までイベントが起こらず，時刻 $t+\delta t$ で初めてイベントが起こったと考える．ここで， $\delta t$ の間にイベントが発生する確率は $\lambda\delta t$ である．

次に， $\delta t$ が $t$ を大きい数 $n$ で分割したものと考える．すると，時刻0から $t$ まで $n$ 個ある各時間幅 $\delta t$ では，全てイベント発生に失敗しているため，各々のイベント失敗確率 $(1-\lambda\delta t)$ を乗じて，時刻0から $t$ まで失敗し続ける確率を $(1-\lambda\delta t)^{n}$ とする．なお単純に乗じるだけで同時確率が求まっているのは独立性によるところである．

最後には成功するため，先ほどの確率に $\lambda\delta t$ を乗じた $(1-\lambda\delta t)^{n} \lambda\delta t$ が，時刻0から $t$ までイベントが起こらず，時刻 $t+\delta t$ で初めてイベントが起こった確率である．

同様に考えていくと，時刻 $t$ までにイベントが起きる確率 $P(\tau\le t)$ は次のように書ける．

$P(\tau\le t) \simeq \lambda\delta t + (1-\lambda\delta t)\lambda\delta t + \cdots + (1-\lambda\delta t)^{n-1}\lambda\delta t = \lambda\delta t\frac{1-(1-\lambda t/n)^{n}}{1-(1-\lambda \delta t)}$

ここで $\delta t\to 0$ の極限をとると， $P(\tau\le t)=1-e^{\lambda t}$ が得られ，これが指数分布であると分かる．

なお，上では公式： $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}$ を用いている．

導出その2. ポアソン分布

今度は時間幅 $t$ の間にイベントが起こる回数 $N(t)$ がポアソン分布に従うことを示す．

先ほどと同様に $t$ を $n$ に分割する．その $n$ 個のうち， $k$ 個の時間幅でイベントが発生したとする． $\delta t=t/n$ であるため，その確率 $P(N(t))$ は次のように表せる．

$P(N(t))=\frac{n!}{k!(n-k)!} \left(1-\frac{\lambda t}{n}\right)^{n-k} \left(\frac{\lambda t}{n}\right)^{k}$

ここで， $n!/(n-k)!\approx n^{k}$ という近似をとって， $n\to\infty$ という極限をとると次のようになる．

$P(N(t))=\lim_{n\to\infty} \frac{n^{k}}{k!} \left(1-\frac{\lambda t}{n}\right)^{n} \left(\frac{\lambda t / n}{1-\lambda t / n}\right)^{k} = \frac{1}{k!}e^{-\lambda t} (\lambda t)^{k}$